[Baekjoon] 백준 6064 카잉달력

6064번 카잉달력 문제 풀이

문제

• 최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다.
  카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M과 N보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 <x:y>와 같은 형식으로 표현하였다.

• 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. <x:y>의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. <M:N>은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다.
  예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60번째 해를 나타낸다.

• 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어질 때, <M:N>이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 <x:y>는 몇 번째 해를 나타내는지 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

• 입력 데이터는 표준 입력을 사용한다. 입력은 T개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 입력 데이터의 수를 나타내는 정수 T가 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성된다. 각 줄에는 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어진다. (1 ≤ M, N ≤ 40,000, 1 ≤ x ≤ M, 1 ≤ y ≤ N) 여기서 <M:N>은 카잉 달력의 마지막 해를 나타낸다.

출력

• 출력은 표준 출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정수 k를 한 줄에 출력한다. 여기서 k는 <x:y>가 k번째 해를 나타내는 것을 의미한다. 만일 <x:y>에 의해 표현되는 해가 없다면, 즉, <x:y>가 유효하지 않은 표현이면, -1을 출력한다.

예제

입력
3
10 12 3 9
10 12 7 2
13 11 5 6

출력
33
-1
83

코드

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;

int gcd(int n, int m) {
    int big, small;
    if (n > m)
        big = n, small = m;
    else
        big = m, small = n;
    while (true) {
        int nmg = big % small;
        if (nmg == 0) return small;
        else {
            big = small;
            small = nmg;
        }
    }
}

int lcd(int n, int m) {
    return n * m / gcd(n, m);
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int M, N, x, y;
        cin >> M >> N >> x >> y;
        int result = -1;
        x -= 1;
        y -= 1;
        for (int i = x; i <= lcd(M, N); i += M) {
            if (i%N == y) {
                result = i + 1;
                break;
            }
        }
        cout << result<< '\n';
    }
    return 0;
}

해결방법

• 카잉달력은 <M,N>에 도달하면 다시 <1,1>부터 시작되는 달력이다.

• 기본적으로 M,N에 도달할 때 까지 x,y를 1씩 증가시키며 비교하는 방법은 40000 * 40000 가지나 되기 때문에 시간초과가 발생한다.

• 문제를 해결하기 위해 규칙성을 찾아보려고 M = 3 , N = 5인 경우 카잉달력을 표로 구현해봤다.

  COUNT	날짜	COUNT	날짜
  1	<1,1>	9	<3,4>
  2	<2,2>	10	<1,5>
  3	<3,3>	11	<2,1>
  4	<1,4>	12	<3,2>
  5	<2,5>	13	<1,3>
  6	<3,1>	14	<2,4>
  7	<1,2>	15	<3,5>
  8	<2,3>

• 위 표를 확인해 보면 마지막 날짜가 나올 때는 15번째, 즉 M*N경우가 마지막일 것 같지만 다른 경우도 확인해보면 M과 N의 최소공배수가 마지막 NUM이 되는 것을 알 수 있다.

• 위와같은 경우에서 <1,3>의 위치가 주어졌을때, 우리는 문제를 해결하여 13을 도출해야한다. 이 때 x값 1은 13 % M = 1, y값 3은 13 % N = 3으로 구할 수 있음을 확인할 수 있다.

    for (int i = x; i <= lcd(M, N); i += M) {
        if (i%N == y) {
            result = i;
            break;
        }
    }

• 처음 방법처럼 1부터 하나씩 모두 비교하다보면 시간초과가 발생하기 때문에, x의 값을 고정시킨 후 y값만 비교한다. 즉 i를 처음 주어진 x값으로 한 후 반복할 때마다 M씩 더해준다면 x는 1로 고정되고, i%N값이 y랑 같은 경우만 찾아서 i를 출력하면 된다.

• 여기서 문제점은 만약 찾으려는 위치가 <3,5>, 즉 마지막 위치일 때 i % N은 항상 0이 되기 때문에 y값과 비교하면 항상 false가 반환된다.

• 따라서 x,y를 1씩 감소시켜 항상 구하려는 곳의 전 위치를 찾아서 +1을 해주는 방법으로 문제를 해결하면 된다.